Se você pertence a um grupo de 23 ou mais pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%.

O paradoxo do aniversário é um resultado intrigante da teoria das probabilidades. Ele se baseia na sutil diferença entre duas perguntas:

  • Quantas pessoas precisam estar numa sala para que a probabilidade de alguém fazer aniversário no mesmo dia que você seja maior do que 50%? A resposta é 253 pessoas.
  • Quantas pessoas precisam estar numa sala para que a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia seja maior do que 50%? A resposta é 23 pessoas.

A fórmula para calcular a probabilidade pode ser deduzida dos exemplos dados: será 1 menos (364/365) elevado ao número de pessoas consideradas. Se representarmos o número de pessoas por n obtemos:

1 – (364/365)n

Vamos fazer os cálculos com 252 pessoas. O resultado será 1 – (364/365)252 = 0.499104839 ou 49.91%. Faltou um pouquinho… Repetindo os cálculos com 253 pessoas, chegamos à gloriosa marca de 0.500477154, praticamente 50.05%. No gráfico abaixo, o eixo X mostra o número de pessoas e o eixo Y as probabilidades de ocorrência:

Aniversário com você

Imagine agora que, na sala onde devem entrar os candidatos a aniversário no mesmo dia, exista um enorme calendário com todos os dias do ano. Quando entra a primeira pessoa, ela marca no calendário o dia do seu aniversário.

As chances de não repetir aniversários vão diminuindo e que as chances de repetir aniversários vão aumentando. Se designarmos o número de pessoas com n, a chance dos aniversários não coincidirem será

(365 – n + 1) / 365

e a chance multiplicada de que os aniversários não se repitam será

(364/365) x (363/365) x (362/365) x … x ((365 – n + 1)/365)

Para obter a chance de que um dos aniversários se repita, é preciso subtrair o resultado obtido com a última fórmula de 1:

1 – ((364/365) x (363/365) x (362/365) x … x ((365 – n + 1)/365))

Pois bem, quando n = 23, o resultado obtido é 0.507297234 ou 50.73%.

No mesmo dia
O truque para achar o n é calcular as chances dos aniversários NÃO se repetirem e depois calcular o inverso.
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